Analyse : théorie de l'intégration : convolution et transformée de Fourier

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Auteur principal:	Briane, Marc.
Autres auteurs:	Percot, Matthieu.
Support:	Livre
Langue:	Français
Publié:	Louvain-la-Neuve : De Boeck supérieur, DL 2018.
Édition:	7e édition.
Sujets:	Calcul intégral Convolutions (mathématiques) Fourier, transformations de Topologie Riemann, Intégrale de Mesure, théorie de la
Autres localisations:	Voir dans le Sudoc
Résumé:	Un manuel contenant les bases de la théorie d'intégration de Reimann, celle de Lebesgue et ses premières applications. Avec 230 exercices résolus et onze problèmes de synthèse posés aux examens. ↑Electre 2018

Table des matières:

P. 11
Avant-propos
P. 14
Notations
P. 17
I Rappels et préliminaires
P. 19
1 Intégrale au sens de Riemann
P. 19
1.1 Intégrale des fonctions en escalier
P. 20
1.2 Fonctions intégrables au sens de Riemann
P. 22
1.3 Fonctions réglées
P. 24
1.4 Intégrale de Riemann et calcul de primitive
P. 25
1.5 Changement de variable et intégration par parties
P. 25
1.6 Formules de la moyenne
P. 26
1.7 Sommes de Riemann
P. 27
1.8 L'espace semi-normé (...) ([a, b], (...))
P. 28
1.9 Intégrales dépendant d'un paramètre
P. 30
1.10 Exercices
P. 33
2 Éléments de théorie des cardinaux
P. 33
2.1 Cardinaux
P. 35
2.2 Ensembles dénombrables
P. 39
2.3 Exercices
P. 41
3 Quelques compléments de topologie
P. 41
3.1 La droite achevée
P. 43
3.2 Limite supérieure et limite inférieure
P. 45
3.3 Topologie sur un ensemble. Espace métrique
P. 46
3.4 Base dénombrable d'ouverts, séparabilité
P. 47
3.5 Exemples de constructions de topologies
P. 47
3.5.1 Topologie induite
P. 47
3.5.2 Topologie produit
P. 48
3.6 Distance d'un point à un ensemble
P. 49
3.7 Exercices
P. 51
II Théorie de la mesure
P. 53
De Riemann vers Lebesgue
P. 54
Sur une généralisation de l'intégrale définie (par H. Lebesgue)
P. 57
4 Tribu de parties d'un ensemble
P. 59
4.1 Tribu, tribu borélienne
P. 62
4.2 Autres exemples de tribus
P. 62
4.2.1 Tribu image-réciproque
P. 62
4.2.2 Tribu image
P. 62
4.3 Lemme de transport
P. 64
4.4 Exercices
P. 65
5 Fonctions mesurables
P. 65
5.1 Définitions
P. 68
5.2 Opérations sur les fonctions mesurables
P. 70
5.3 Fonctions étagées sur un espace mesurable
P. 73
5.4 Exercices
P. 75
6 Mesure positive sur un espace mesurable
P. 75
6.1 Définition et exemples
P. 77
6.1.1 Propriétés essentielles
P. 79
6.1.2 Application à la mesure de Lebesgue sur (...)
P. 80
6.2 Caractérisation d'une mesure. Unicité
P. 80
6.2.1 Un théorème de classe monotone
P. 81
6.2.2 Application à la caractérisation d'une mesure
P. 83
6.3 Construction de mesures par prolongement (I)
P. 83
6.3.1 Théorème de prolongement de Carathéodory
P. 84
6.3.2 Principes de construction de la mesure de Lebesgue sur (...)
P. 85
6.4 Régularité de la mesure de Lebesgue
P. 86
6.5 (...) Construction de mesures par prolongement (II)
P. 86
6.5.1 Démonstration du théorème de Carathéodory
P. 92
6.5.2 Construction de mesures sur (...) : Lebesgue, Stieltjes
P. 99
6.6 (...) Régularité d'une mesure sur un espace métrique
P. 100
6.6.1 Le cas d'une mesure finie
P. 101
6.6.2 Le cas d'une mesure sigma-finie
P. 103
6.6.3 Régularité des mesures de Borel
P. 105
6.6.4 Régularité des mesures finies sur une espace polonais
P. 106
6.6.5 Application à la caractérisation des mesures
P. 106
6.7 Exercices
P. 113
III Intégrale de Lebesgue
P. 115
7. Intégrale par rapport à une mesure positive
P. 115
7.1 Intégrale d'une fonction étagée positive
P. 119
7.2 Intégrale d'une fonction mesurable positive
P. 124
7.3 L'espace (...) ( ) des fonctions intégrables
P. 127
7.4 Intégrales de Riemann et de Lebesgue sur un intervalle compact
P. 130
7.5 Exercices
P. 133
8. Théorèmes de convergence et applications
P. 133
8.1 Lemme de Fatou et théorème de convergence dominée
P. 139
8.2 Application aux séries de fonctions
P. 140
8.3 Intégrales dépendant d'un paramètre
P. 147
8.4 Mesures à densité : première approche
P. 148
8.5 Exercices
P. 157
9 Espaces Lp
P. 157
9.1 Espaces (...) ( ) : définition et première propriétés
P. 158
9.2 Inégalités de Hölder et de Minkowski
P. 164
9.3 Les espaces de Banach (...) ( ), (...)
P. 164
9.3.1 Préliminaires sur les espaces semi-normés
P. 165
9.3.2 Construction et propriétés
P. 170
9.4 Théorèmes de densité dans les (...) ( ), (...), (I)
P. 175
9.5 L'espace (...) ( ) ( # 0)
P. 180
9.6 Propriétés hilbertiennes de (...) ( )
P. 180
9.6.1 L'espace de Hilbert (...) ( )
P. 181
9.6.2 Théorème de projection
P. 182
9.6.3 Représentation d'une forme linéaire continue
P. 183
9.7 Théorèmes de densité dans les (...) ( ) (...), (II)
P. 183
9.7.1 Densité des fonctions lipschitziennes dans (...) ( )
P. 185
9.7.2 Densité des fonctions lipschitziennes à support compact
P. 186
9.7.3 Théorème de Lusin
P. 189
9.8 Exercices
P. 195
10 Théorèmes de représentation et applications
P. 195
10.1 (...) Théorème de représentation de Riesz
P. 195
10.1.1 Cas des formes linéaires positives
P. 203
10.1.2 Mesures de Radon
P. 208
10.2 Théorème de Radon-Nikodym
P. 209
10.2.1 Le cas d'une mesure de référence finie
P. 211
10.2.2 Extension au cadre (...)-fini
P. 212
10.3 Dualité Lp-Lq
P. 212
10.3.1 Formes linéaires réelles positives
P. 214
10.3.2 Formes linéaires réelles ou complexes
P. 215
10.4 Interpolation sur les espaces Lp
P. 220
10.5 Exercices
P. 227
11 Mesure produit, théorèmes de Fubini
P. 227
11.1 Tribu produit
P. 227
11.1.1 Définition, premières propriétés
P. 229
11.1.2 Le cas des tribus boréliennes
P. 231
11.1.3 Section d'un élément de la tribu produit
P. 231
11.2 Mesure produit de mesures (...)-finies
P. 231
11.2.1 Construction et caractérisation
P. 234
11.2.2 Construction de la mesure de Lebesgue (...)d, d (...) 2
P. 235
11.3 Théorèmes de Fubini
P. 241
11.4 (...) Produit infini de mesures de probabilité
P. 243
11.5 Exercices
P. 251
12 Mesure image, changement de variables
P. 251
12.1 Mesure image
P. 254
12.2 Théorème général de changement de variables
P. 266
12.3 (...) Application : le degré topologique de Brouwer
P. 271
12.4 Exercices
P. 275
13 Mesure complétée, tribu de Lebesgue, ensemble de Cantor
P. 275
13.1 Complétion d'une mesure
P. 278
13.2 Tribu de Lebesgue
P. 280
13.3 Ensemble de Cantor, fonction de Lebesgue, applications
P. 285
13.4 (...) Produit de mesures complètes. Complétion d'un produit
P. 286
13.5 (...) Complétion et fonctions mesurables
P. 289
IV Convolution et transformée de Fourier
P. 291
14 Convolution et applications
P. 291
14.1 Opérateurs de translation sur les fonctions
P. 293
14.2 Convolution sur (...)d
P. 293
14.2.1 Le cas positif
P. 295
14.2.2 Cadre général
P. 297
14.3 Conditions d'existence et propriétés
P. 302
14.4 Approximation de l'unité
P. 306
14.5 Régularisation par convolution
P. 309
14.6 Autres convolutions
P. 309
14.6.1 ... de fonctions
P. 310
14.6.2 Convolution de mesures positives (...)-finies
P. 311
14.7 Exercices
P. 315
15 Transformée de Fourier
P. 316
15.1 Définition et premières propriétés
P. 323
15.2 Injectivité et formule d'inversion
P. 331
15.3 Transformée de Fourier-Plancherel
P. 333
15.4 Exercices
P. 339
V En guise de conclusion : problèmes, QCM et solutions succinctes des exercices et QCM
P. 341
16 Questionnaires à choix multiples
P. 342
16.1 QCM 1
P. 343
16.2 QCM 2
P. 344
16.3 QCM 3
P. 345
16.4 QCM 4
P. 346
16.5 QCM 5
P. 347
16.6 QCM 6
P. 349
17 Quelques problèmes
P. 349
17.1 Problème 1
P. 350
17.2 Problème 2
P. 351
17.3 Problème 3
P. 352
17.4 Problème 4
P. 354
17.5 Problème 5
P. 355
17.6 Problème 6
P. 357
17.7 Problème 7
P. 359
17.8 Problème 8
P. 361
17.9 Problème 9
P. 362
17.10 Problème 10
P. 363
17.11 Problème 11
P. 365
18 Vers la solution des exercices
P. 389
19 Réponses aux QCM
P. 389
19.1 Réponses au QCM 1
P. 390
19.2 Réponses au QCM 2
P. 390
19.3 Réponses au QCM 3
P. 390
19.4 Réponses au QCM 4
P. 391
19.5 Réponses au QCM 5
P. 391
19.6 Réponses au QCM 6
P. 393
Bibliographie
P. 395
Index

Analyse : théorie de l'intégration : convolution et transformée de Fourier

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